La primitive vérifiant une condition initiale

Théorème

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle  \(I\) et admettant des primitives sur cet  intervalle.
Soit  \(x_0 \in I\)  et  \(y_0\)  un réel.
Il existe une et une seule primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que  \(F(x_0) = y_0\) .

Démonstration

Existence
Soit  \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\) .
Les primitives de \(f\) sur \(I\) sont l es fonctions définies sur  \(I\)  et de la forme :  \(x \mapsto F (x) + C\) , où \(C\) est un réel.
On a  \(F (x_0) + C = y_0 \Leftrightarrow C = y_0 - F(x_0)\) .   
Par construction, la fonction définie sur  \(I\)  et de la forme :  \(x \mapsto F (x) + y_0 - F(x_0)\) est une primitive de   \(f\)  sur \(I\)  et est telle que  \(x_0\) a pour image \(y_0\) .

Unicité
Soit  \(F_1\)  et  \(F_2\) deux primitives de \(f\) sur \(I\)   et vérifiant  \(F_1(x_0) = y_0\)  et  \(F_2(x_0) = y_0\) . 
\(F_1\)  et  \(F_2\)  étant deux primitives de \(f\) sur \(I\) , elles  différent d'une constante réelle \(C\) .
Pour tout \(x\) de \(I\) , on a \(F_1(x) - F_2(x) = C\) .
Donc, en particulier pour  \(x = x_0\) , on a \(F_1(x_0) - F_2(x_0) = C\) soit  \(C = y_0 - y_0 = 0\) .
Par conséquent, pour tout  \(x\) de \(I\) , on a  \(F_1(x) = F_2(x)\) .
Les fonctions   \(F_1\)  et  \(F_2\) sont égales sur   \(I\) .
Il existe donc une et une seule primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que  \(F(x_0) = y_0\) .

Remarque

On dit que la relation  \(F(x_0) = y_0\)  est une condition initiale.